一元三次方程的解法

一元三次方程的求解可通过两种公式法实现：一是1545年由意大利学者卡尔丹提出的卡尔丹公式法；二是1989年由中国学者范盛金提出的盛金公式法。这两种方法均适用于标准型一元三次方程的求解。

卡尔丹公式在解题时显得较为便捷,而盛金公式尽管形式简洁,但整体表述较长,不易记忆,不过在实际解题过程中却更为直观。

卡尔丹公式法适用于特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0,其中p、q为实数。

判别式Δ的计算公式为(q/2)^2+(p/3)^3。

卡尔丹公式具体为：X1等于Y1的立方根加Y2的立方根；X2等于Y1的立方根乘以ω再加Y2的立方根乘以ω的平方；X3等于Y1的立方根乘以ω的平方再加Y2的立方根乘以ω,其中ω等于(－1+i3^(1/2))/2；Y1和Y2的计算公式为－(q/2)加减((q/2)^2+(p/3)^3)的平方根。

对于标准型一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,其中a、b、c、d为实数且a不等于0,可通过令X=Y—b/(3a)代入上式,转化为适合卡尔丹公式求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。

卡尔丹判别法指出：当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3大于0时,方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ等于0时,方程有三个实根,其中一个为两重根；当Δ小于0时,方程有三个不相等的实根。

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