抛物线的定义和方程

一、抛物线的定义和方程

1、抛物线的定义

平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$（$l$不经过点$F$）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点$F$叫做抛物线的焦点，直线$l$叫做抛物线的准线。

设$M$是抛物线上任意一点，$F$是抛物线的焦点，点$M$到$l$的距离为$d$，由抛物线的定义知，抛物线就是集合$P={M||MF|=d}$。

注：（1）抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为$M$；一个定点$F$（抛物线的焦点）；一条定直线$l$（抛物线的准线）；一个定值1（抛物线的离心率）。

2、抛物线的方程

中心在坐标原点，焦点在$x$轴正半轴上的抛物线的标准方程是$y^2=2px(p>0)$；

中心在坐标原点，焦点在$x$轴负半轴上的抛物线的标准方程是$y^2=-2px(p>0)$；

中心在坐标原点，焦点在$y$轴正半轴上的抛物线的标准方程是$x^2=2py(p>0)$；

中心在坐标原点，焦点在$y$轴负半轴上的抛物线的标准方程是$x^=-2py(p>0)$。

3、抛物线的几何性质

若抛物线方程为$y^2=2px(p>0)$，则

对称轴为$x$轴，焦点坐标$\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线方程为$x=-\frac{p}{2}$，离心率$e=1$，焦准距为$p$，通径长为$2p$。

注：（1）离心率：抛物线上的点$M$到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用$e$表示。由定义可知，$e=1$。

（2）焦准距：抛物线的焦点到它的准线的距离叫做焦准距。

（3）抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，距离的最小值为$\frac{p}{2}$。

二、抛物线的定义的相关例题

已知抛物线$C：y=\frac{1}{4}x^2$，则下列关于抛物线$C$的叙述正确的是___

A．抛物线$C$没有离心率

B．抛物线$C$的焦点坐标为$\left(\frac{1}{16},0\right)$

C．抛物线$C$关于$x$轴对称

D．抛物线C的准线方程为$y=-1$

答案：D

解析：由条件知,抛物线的标准方程为$x^2=4y$，则抛物线$C$的离心率为1，其焦点坐标为$(0,1)$，关于$y$轴对称，准线方程为$y=-1$，故选D。

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