点面距离的定义和空间中的中点坐标公式

一、点面距离的定义和空间中的中点坐标公式

1、点面距离表示空间内一点到平面内一点的最小长度。特殊的，当点在平面内时，该点到平面的距离为0。

2、若平面方程为$Ax+By+Cz+D=0$，点$P$的坐标为$(x_0,y_0,z_0)$，则点$P$到平面的距离为$\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。

3、空间中的中点坐标公式

在空间直角坐标系中若$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$P$为$AB$的中点，则点$P$的坐标为$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)$。

4、空间中的夹角公式

设非零向量$\boldsymbol a=(a_1,a_2,a_3)$，$\boldsymbol b=(b_1,b_2,b_3)$，则$\cos〈\boldsymbol a,\boldsymbol b〉=$$\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}\sqrt{b^2_1+b^2_2+b^2_3}}$。

5、空间中点的距离公式

在空间直角坐标系中，已知$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则$|\overrightarrow{AB}|=$$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。

二、点面距离的相关例题

已知平面$α,β,γ$两两互相垂直，点$A∈α$ ，点$A$到$β$ ，$γ$的距离都是3 ，点$P$是$α$上的动点，满足$P$到$β$的距离是$P$到点$A$距离的2倍，则点$P$的轨迹上的点到$γ$的距离的最小值是___

A．$3-\sqrt{3}$

B．$3-2\sqrt{3}$

C．$6-\sqrt{3}$

D．$\sqrt{3}$

答案：A

解析：由题可知，设$P(x,y)$，点$P$的轨迹方程为$x=$$2\sqrt{(x-3)^2+(y-3)^2}$，于是$x^2=4(x-3)^2+4(y-3)^2$，$(y-3)^2=$$\frac{1}{4}[x^2 -4(x-3)^2]=$$-\frac{3}{4}x^2+6x-9$，当$x=4$时，最大值为3 ，因为$(y-3)^2=3$，所以$y=3+\sqrt{3}$或$y=3-\sqrt{3}$，即点$P$的轨迹上的点到$γ$的距离的最小值是$3-\sqrt{3}$。

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