等差数列前n项和的性质

文/

一、等差数列前$n$项和的性质

若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$,前$n$项和为$S_n$,则

(1)数列$S_k$,$S_{2k}-S_k$,$S_{3k}-S_{2k}$,$\cdots$$(k∈\mathbf{N}^*)$是等差数列,且公差为$k^2d$。

(2)在等差数列$\{a_n\}$中,若$S_n=m$,$S_m=n$,$m≠n$,则有$S_{m+n}=-(m+n)$。

(3)在等差数列$\{a_n\}$中,若$S_n=S_m$,$m≠n$,则$S_{m+n}=0$。

(4)数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{S_n}{n} \end{Bmatrix}$为等差数列,首项为$\{a_n\}$的首项,公差为$\frac{d}{2}$。

(5)若$\{a_n\}$,$\{b_n\}$都为等差数列,$S_n$,$T_n$分别为它们的前$n$项和,则$\frac{a_m}{b_m}=\frac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}}$。

(6)若等差数列的项数为$2n$$(n∈\mathbf{N}^*)$,则$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$,且$S_偶-S_奇=nd$,$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$。若等差数列的项数为$2n-1(n∈\mathbf{N}^*)$,则$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$($a_n$为中间项),且$S_奇-S_偶=a_n$,$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{n-1}{n}$(其中$S_奇=na_n$,$S_偶=(n-1)a_n$)。

二、等差数列前$n$项和的性质的相关例题

已知等差数列${a_n}$中$S_9=18$,$S_n=240$,$a_{n-4}=30(n>9)$,则项数$n$为____

A.10 B.14 C.15 D.17

答案:C

解析:因为$S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=$$9a_5=18$,所以$a_5=2$,所以$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=$$\frac{n(a_5+a_{n-4})}{2}=$$\frac{n(2+30)}{2}=$$16n=240$,解得$n=15$,故选C。

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