棱锥表面积的公式和侧面积公式

一、棱锥表面积的公式和侧面积公式

1、棱锥的表面积

对于棱锥，其表面积是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。因此，我们可以把它们展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求棱锥的表面积。

所以，棱锥的表面积=棱锥的侧面积+棱锥的底面积。

1、棱锥的侧面积

正$n$棱锥的侧面展开图是由$n$个全等的等腰三角形组成的。设正$n$棱锥的底面边长为$a$，周长为$c$，斜高为$h′$，则正$n$棱锥的侧面积$S_侧=n\frac{1}{2}ah′=\frac{1}{2}ch′$。

3、圆锥的表面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，则这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$c$，$c=2πr$，半径等于圆锥的母线长$l$，则圆锥的侧面积$S_侧=\frac{1}{2}cl=πrl$。圆锥的表面积$S_表=πr^2+πrl=πr(l+r)$。

二、棱锥表面积的公式的相关例题

已知三棱锥$A-BCD$中，$AB=AC=BD=CD$，$AB⊥AC$，$BD⊥CD$，且三棱锥$A-BCD$的外接球的表面积为32$π$。则当平面$ABC$⊥平面$BCD$时，三棱锥$A-BCD$的表面积等于___

A．16+8$\sqrt{3}$

B．32+16$\sqrt{3}$

C．8+8$\sqrt{3}$

D．16+16$\sqrt{3}$

答案：A

解析：取$BC$的中点为$O$，则$AO$⊥$BC$，$DO$⊥$BC$，$AO=DO=BO=CO=\frac{1}{2}BC$。即$O$为三棱锥$A-BCD$的外接球的球心。因为三棱锥$A-BCD$的外接球的表面积为32π。所以三棱锥$A-BCD$的外接球的半径为2$\sqrt{2}$，则$AO=BO=CO=DO$=2$\sqrt{2}$。当平面$ABC⊥$平面$BCD$时，$AO⊥BC$，平面$ABC∩$平面$BCD=BC$，所以$AO⊥$平面$BCD$，所以$AO⊥DO$。则由勾股定理，得$AB$=$BD$=$AD$=$AC$=$CD$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^2+（2\sqrt{2}）^2}$=4。三棱锥$A-BCD$的表面积为$S$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}×2$+$\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=16+8$\sqrt{3}$。故选：A。

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