一、双曲线的定义和方程
1、双曲线的定义
（1）双曲线的第一定义
我们把平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离的差的绝对值等于非零常数（小于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
设$P$为双曲线上任意一点，则双曲线上的点用集合表示为$\begin{Bmatrix}P\Bigg|\Big| |PF_1|-|PF_2|\Big| =2a\end{Bmatrix} $$(0<2a<|F_1F_2|)$。
当$|PF_1|-|PF_2|=2a$时，点$P$的轨迹为靠近$F_2$的双曲线的一支。
当$|PF_1|-|PF_2|=-2a$时，点$P$的轨迹为靠近$F_1$的双曲线的一支。
当$2a=|F_1F_2|$时，动点$P$的轨迹是分别以$F_1,F_2$为端点的两条射线；当$2a>|F_1F_2|$，即2$a$>2$c$时，动点$P$的轨迹不存在；当2$a$=0时，动点$P$的轨迹是线段$F_1F_2$的垂直平分线。
（2）双曲线的第二定义
平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$的距离的比是常数$e$，当$e$>1时，动点的轨迹是双曲线，定点$F$叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数$e$（$e$>1）叫做双曲线的离心率。（该定直线的方程是$x=±\frac{a^2}{c}$（焦点在$x$轴上）或$y=±\frac{a^2}{c}$（焦点在$y$轴上））。
2、双曲线的方程
（1）双曲线的标准方程
中心在坐标原点，焦点在$x$轴上的双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$>0，$b$>0）；
中心在坐标原点，焦点在$y$轴上的双曲线的标准方程是$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（$a$>0，$b$>0）。
（2）双曲线的一般方程
当$ABC≠0$时，方程$Ax^2-By^2=C$可变形为$\frac{x^2}{\frac{C}{A}}-\frac{y^2}{\frac{C}{B}}=1$，由此可以看出$Ax^2-By^2=C$表示双曲线的充要条件是$ABC≠0$，且$A$，$B$同号，此时方程$Ax^2-By^2=C$为双曲线的一般方程。
3、等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可设为$x^2-y^2=λ(λ≠0)$。当$λ>0$时，双曲线的焦点在$x$轴上；当$λ<0$时，双曲线的焦点在$y$轴上。
等轴双曲线的离心率$e=\sqrt{2}$，两条渐近线互相垂直。
4、共轭双曲线
如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线。两条双曲线有共同的渐近线，它们的离心率$e_1,e_2$满足$\frac{1}{e^2_1}$+$\frac{1}{e^2_2}$=1。
5、双曲线的几何性质
设双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1$(a>0,b>0$)，则双曲线的焦点坐标为$(±c,0)$，顶点为$（±a,0）$，渐近线方程为$y=±\frac{b}{a}x$，准线方程为$x=±\frac{a^2}{c}$，离心率为$e=\frac{c}{a}$($e$>1，其中$c^2=a^2+b^2$），其对称性为关于$x$轴、$y$轴对称，关于原点中心对称。
注：（1）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比$\frac{c}{a}$称为双曲线的离心率，用$e$表示，即$e=\frac{c}{a}$。
①双曲线离心率的取值范围为$(1,+∞)$。
②离心率$e$表示双曲线开口的大小，$e$越大，双曲线的开口越大。
③$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。
（2）双曲线上到中心距离最小的点和到焦点距离最小的点均是实轴的两个端点。
（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于$b$。
（4）双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
（5）若$P$为双曲线右支上一点，$F_1,F_2$分别为双曲线的左、右焦点，则$|PF_1|{\rm min}=a+c$，$|PF_2|{\rm min}=c-a$。
二、双曲线的相关例题
设双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1($a$>0，$b$>0)的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，离心率为$\sqrt{5}$。$P$是$C$上一点，且$F_1P⊥F_2P$。若$△PF_1F_2$的面积为4，则$a$=___
A．1. B．2 C．4 D．8
答案：A
解析：设$|PF_1|=m$，$|PF_2|=n$，则有$\begin{cases}m^2+n^2=4c^2,\S=\frac{1}{2}mn=4,\|m-n|=2a,\e=\frac{c}{a}=\sqrt{5},\end{cases}$所以$c^2$-$a^2$=$(\sqrt{5}a)^2$-$a^2$=4，解得$a$=1，故选A。
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