空间几何体的定义和多面体的定义

一、空间几何体的定义和多面体的定义

1、空间几何体

空间中的物体都占据着空间的一部分，如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他的因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

空间几何体不仅包括它们的外表面，还包括它们的内部。一般我们只研究空间几何体的结构特征和大小（体积和表面积）。

2、多面体

（1）定义

一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

（2）组成元素

面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。

棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。

顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段即为多面体的体对角线。

3、正多面体

（1）性质

①正多面体的所有的棱和所有的二面角都分别相等；

②经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这一点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等。

（2）分类

正多面体有且仅有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。

4、旋转体

（1）定义

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。

（2）旋转体的轴

平面图形旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴。

5、常见的空间几何体的计算公式

长方体体积：$V=Sh$（$S$为长方体的底面积，$h$为长方体的高）。

长方体表面积：$S=2（ab+bc+ac）$，其中$a，b，c$分别为长方体的长、宽、高。

锥体的体积：$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为棱锥的底面积，$h$为棱锥的高）。

球体的体积：$V$=$\frac{4}{3}πR^3$（$R$为球的半径）。

球体的表面积：$S$=4$πR^2$（$R$为球的半径）。

二、空间几何体的相关例题

(多选)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为___

A．$\sqrt{2}π$B．$(1+\sqrt{2})π$C．2$\sqrt{2}π$D．$(2+\sqrt{2})π$

答案：AB解析：如果绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥的底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边$\sqrt{2}$，所以形成的几何体的表面积$S=πrl+πr^2$=$π×1×\sqrt{2}+π×1^2$=$(\sqrt{2}+1)π$。如果绕斜边旋转，形成上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高$\frac{\sqrt{2}}{2}$，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积$S=2×πr′l′=2×π×\frac{\sqrt{2}}{2}×1=\sqrt{2}π$。综上，形成几何体的表面积是$(\sqrt{2}+1)π$或$\sqrt{2}π$，故选AB。

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