三角形的面积公式和求面积的方法

一、三角形的面积公式和求面积的方法

三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积。

同一平面内，且不再同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。

几种常见的求三角形面积的方法：

1、已知三角形一边及该边上的高

$S=\frac{1}{2}ah$（$h$表示边$a$上的高）。

2、已知三角形的两边及其夹角

$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A$。

3、已知三角形的三边

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\left(p=\frac{1}{2}(a+b+c)\right)$。

4、已知三角形的三边及内切圆半径

$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$（$r$表示三角形内切圆的半径）。

5、已知三角形的三边及外接圆半径

$S=\frac{abc}{4R}$。

6、已知三角形的三角及外接圆半径

$S=2R^2\sin A\sin B\sin C$。

7、数量积形式的三角形面积公式

在$△ABC$中，设$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol b$，$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol a$，且$〈\boldsymbol a,\boldsymbol b〉=θ$，则$S=\frac{1}{2}|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin θ=$$\frac{1}{2}\sqrt{|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a·\boldsymbol b)^2}$。

8、坐标形式的三角形面积公式

在$△ABC$中，设$\overrightarrow{CB}=$$\boldsymbol a=$$(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2)$，$\overrightarrow{CA}=$$\boldsymbol b=$$(\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2)$，则$S=$$\frac{1}{2}|\boldsymbol a_1\boldsymbol b_2-\boldsymbol a_2\boldsymbol b_1|$。

二、三角形的面积公式的相关例题

三角形的面积是60 cm$^2$，则它的三条中位线组成的三角形的面积是___

A．25 cm$^2$ B．20 cm$^2$

C．15 cm$^2$ D．30 cm$^2$

答案：C

解析：三角形三条中位线所围成的三角形与原三角形相似，相似比为$\frac{1}{2}$，∴面积比为$\frac{1}{4}$。∴它的三条中位线组成的三角形的面积是$60×\frac{1}{4}=15\ {\rm cm}^2$。故选C。

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