最简二次根式和二次根式的性质

一、最简二次根式和二次根式的性质

1、二次根式的概念

一般地，我们把形如$\sqrt{a}$$(a\geqslant0)$的式子叫做二次根式，“$\sqrt{\ \ \ }$ ”称为二次根号。

二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。

2、二次根式的性质

（1）$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a>0),\\0(a=0),\\-a(a<0);\end{cases}$

（2）$\sqrt{a}\geqslant0(a\geqslant0)$；

（3）$(\sqrt{a})^2=a(a\geqslant0)$。

3、最简二次根式

（1）被开方数不含分母。

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

满足以上两个条件的二次根式叫做最简二次根式。

4、二次根式的化简

性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a\geqslant0$，$b\geqslant0$）和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geqslant0$，$b>0$）是二次根式计算或化简的重要依据，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开方开得尽，可以利用积的算术平方根的性质及公式$\sqrt{a^2}=a(a\geqslant0)$，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简。

二、最简二次根式的相关例题

若最简二次根式$\sqrt{x+3}$与最简二次根式$\sqrt{2x}$是同类二次根式，则$x$的值为___

A．$x=0$

B．$x=1$

C．$x=2$

D．$x=3$

答案：D

解析：∵最简二次根式$\sqrt{x+3}$与$\sqrt{2x}$是同类二次根式，∴$x+3=2x$，解得：$x=3$，故选D。

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