数列的递推公式

一、数列的递推公式

如果已知数列$\{a_n\}$的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

注：（1）并不是所有数列都有递推公式。

（2）递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号$n$的恒等式，即用符合要求的正整数依次去替换$n$，就可以求出数列的各项。

（3）用递推公式给出一个数列，则必须给出：

①基础——数列$\{a_n\}$的第一项（或前几项）。

②递推关系——数列$\{a_n\}$的任意一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（$n\geqslant 2$）（或前几项）间的关系，并且这个关系可以用等式来表示。

二、数列的递推公式的相关例题

已知数列$\{a_n\}$满足递推关系$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，$a_1=\frac{1}{2}$，则$a_{2017}=$____

A．$\frac{1}{2016}$ B．$\frac{1}{2018}$

C．$\frac{1}{2017}$ D．$\frac{1}{2019}$

答案：B

解析：由$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，所以$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+1}{a_n}=\frac{1}{a_n}+1$。

则$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=1$，又$a_1=\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{a_1}=2$，

所以数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{1}{a_n}\end{Bmatrix}$是以2为首项，1为公差的等差数列。

所以$\frac{1}{a_n}=n+1$，则$a_n=\frac{1}{n+1}$，

所以$a_{2017}=\frac{1}{2018}$。

故选B。

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