数列的定义和与函数的关系

一、数列的定义和与函数的关系

1、数列的定义

按照一定顺序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项$\cdots$排在第$n$位的数称为这个数列的第$n$项。所以，数列的一般形式可以写成$a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$，简记为$\{a_n\}$。其中$a_n$是数列$\{a_n\}$的第$n$项，也叫做数列的通项。

注：（1）数列的项具有有序性，数列中两组完全相同的数（除各项都相同的一列数），由于排列次序不同，它们构成的数列不同。此外，数列中的数可以重复出现。

（2）$a_n$与$\{a_n\}$是不同的概念，$a_n$表示数列$\{a_n\}$的第$n$项，而$\{a_n\}$表示数列$a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$。

2、数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集$\mathbf{N}^*$（或它的有限子集$\{1,2,3,\cdots,n\}$）为定义域的函数$a_n=f(n)$，即当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图象是无限个或有限个孤立的点。

3、数列的分类

（1）按项的个数分

有穷数列：项数有限的数列，如：$1,2,3,4,\cdots,n$。

无穷数列：项数无限的数列，如：$1,2,3,\cdots,n,n+1,\cdots$。

（2）按项的变化趋势分

递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，如：$1,2,3,4,\cdots,n$。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，如：$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots,\frac{1}{n},\cdots$。

常数列：各项相等的数列，如：$3,3,3,3,3,\cdots$。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，如：$-2,-3,1,2,-3,-2,\cdots$。

4、数列的表示方法

（1）列表法

列出表格来表示数列$\{a_n\}$的第$n$项与序号$n$之间的关系。

（2）图象法

在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点$(n,a_n)$。

（3）解析式法

将数列用一个数学式子表示出来的方法，叫做解析式法。可用通项公式或其它式子表示数列。

5、数列的通项公式

如果数列$\{a_n\}$的第$n$项$a_n$与序号$n$之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

注：（1）不是所有的数列都有通项公式。如$π$的不足近似值精确到$1,0.1,0.01,0.001,\cdots$所构成的数列：$3,3.1,3.14,3.142,\cdots$就没有通项公式。

（2）数列通项公式的形式可能不唯一。如数列$-1,1,-1,1,-1,1,\cdots$的通项公式可以写成$a_n=(-1)^n$，也可以写成$a_n=\begin{cases}-1,n=2k-1,k∈\mathbf{N}^*,\\1,\ \ \ n=2k,k∈\mathbf{N}^*,\end{cases}$还可以写成$a_n=\cos nπ$。

6、数列的递推公式

如果已知数列$\{a_n\}$的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

注：（1）并不是所有数列都有递推公式。

（2）递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号$n$的恒等式，即用符合要求的正整数依次去替换$n$，就可以求出数列的各项。

（3）用递推公式给出一个数列，则必须给出：

①基础——数列$\{a_n\}$的第一项（或前几项）。

②递推关系——数列$\{a_n\}$的任意一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（$n\geqslant 2$）（或前几项）间的关系，并且这个关系可以用等式来表示。

7、数列的前$n$项和

$a_1+a_2+\cdots+a_n$叫做数列$\{a_n\}$的前$n$项和，记作$S_n$。

8、数列的性质

（1）单调性

如果对所有的$n∈\mathbf{N}^*$，都有$a_{n+1}>a_n$，那么称数列$\{a_n\}$为递增数列；如果对所有的$n∈\mathbf{N}^*$，都有$a_{n+1}<a_n$，那么称数列$\{a_n\}$为递减数列。

（2）周期性

如果对所有的$n∈\mathbf{N}^*$，都有$a_{n+k}=a_n$（$k$为正整数），那么称数列$\{a_n\}$是以$k$为周期的周期数列。

（3）有界性

如果对所有的$n∈\mathbf{N}^*$，都有$|a_n|\leqslant M$，那么称数列$\{a_n\}$为有界数列，否则称数列$\{a_n\}$为无界数列。

9、等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母$d$表示。

（1）等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。

注：已知等差数列$\{a_n\}$中的任意两项$a_n$，$a_m(n,m∈\mathbf{N}^*,m≠n)$，则$\begin{cases}a_n=a_1+(n-1)d,\\a_m=a_1+(m-1)d\end{cases}\Rightarrow$$a_n-a_m=$$(n-m)d\Rightarrow$$\begin{cases}d=\frac{a_n-a_m}{n-m},\\a_n=a_m+(n-m)d。\end{cases}$

即已知等差数列中的任意两项，可求得其公差，进而求得其通项公式。

（2）等差中项

由三个数$a$，$A$，$b$组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，$A$叫做$a$与$b$的等差中项。此时，$2A=a+b$，$A=\frac{a+b}{2}$。

（3）等差数列的性质

若数列$\{a_n\}$是首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列，则它具有以下性质

① 若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。

② 若$\frac{m+n}{2}=k$，则$a_m+a_n=2a_k(m,n,k∈\mathbf{N}^*)$。

③ 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_n=m$，$a_m=n$，$(m≠n)$，则有$a_{m+n}=0$。

④ 若$\{a_n\}$是有穷等差数列，则$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=$$\cdots=$$a_i+a_{n+1-i}=\cdots$。

⑤ 数列$λa_n+b$（$λ$，$b$是常数）是公差为$λd$的等差数列。

⑥ 下标成等差数列且公差为$m$的项$a_k$，$a_{k+m}$，$a_{k+2m}$，$\cdots(k,m∈\mathbf{N}^*)$，组成公差为$md$的等差数列。

⑦ 若数列$\{b_n\}$是等差数列，则数列$\{a_n±b_n\}$，$\{ka_n±b_n\}$（$k$为非零常数）也是等差数列。

（4）等差数列的前$n$项和公式

等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则其前$n$项和为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$。

（5）等差数列前$n$项和的性质

若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，前$n$项和为$S_n$，则

① 数列$S_k$，$S_{2k}-S_k$，$S_{3k}-S_{2k}$，$\cdots$$(k∈\mathbf{N}^*)$是等差数列，且公差为$k^2d$。

② 在等差数列$\{a_n\}$中，若$S_n=m$，$S_m=n$，$m≠n$，则有$S_{m+n}=-(m+n)$。

③ 在等差数列$\{a_n\}$中，若$S_n=S_m$，$m≠n$，则$S_{m+n}=0$。

④ 数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{S_n}{n} \end{Bmatrix}$为等差数列，首项为$\{a_n\}$的首项，公差为$\frac{d}{2}$。

⑤ 若$\{a_n\}$，$\{b_n\}$都为等差数列，$S_n$，$T_n$分别为它们的前$n$项和，则$\frac{a_m}{b_m}=\frac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}}$。

⑥ 若等差数列的项数为$2n$$(n∈\mathbf{N}^*)$，则$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$，且$S_偶-S_奇=nd$，$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$。若等差数列的项数为$2n-1(n∈\mathbf{N}^*)$，则$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$（$a_n$为中间项），且$S_奇-S_偶=a_n$，$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{n-1}{n}$(其中$S_奇=na_n$，$S_偶=(n-1)a_n$)。

10、等比数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。

（1）等比数列的通项公式

若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。

注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。

所以有：① 在已知等比数列$\{a_n\}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。

② 已知等比数列$\{a_n\}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。

（2）等比中项

如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。

若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。

注：（1）只有非零同号的两数才有等比中项，并且等比中项有两个，它们互为相反数。（2）在等比数列$\{a_n\}$中，从第2项起，每一项（有穷等比数列末项除外）是前一项与后一项的等比中项，即$a^2_n=a_{n+1}a_{n-1}(n\geqslant2，n∈\mathbf{N}^*)$。

（3）等比数列的性质

设$\{a_n\}$是公比为$q$的等比数列，那么

① 数列$\{a_n\}$是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即$a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=$$\cdots=$$a_ma_{n-m+1}$。

② 若$m$，$n$，$p$$(m,n,p∈\mathbf{N}^*)$成等差数列，则$a_m$，$a_n$，$a_p$成等比数列，即$a^2_n=a_ma_p$。

③ 若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_ma_n=a_pa_q$。特别地，若$m+n=2p$，则$a_ma_n=a^2_p$。

④ 数列$\{λa_n\}$（$λ$为不等于0的常数）仍是公比为$q$的等比数列；

数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{1}{a_n}\end{Bmatrix}$是公比为$\frac{1}{q}$的等比数列；

数列$\{|a_n|\}$是公比为$|q|$的等比数列；

若数列$\{b_n\}$是公比为$q^′$的等比数列，则数列$\{a_n·b_n\}$是公比为$q·q^′$的等比数列。

⑤ 当数列$\{a_n\}$是各项都为正数的等比数列时，数列$\{\lg a_n\}$是公差为$\lg q$的等差数列。

⑥ 在数列$\{a_n\}$中，连续相邻$k$项的和或积构成公比为$q^k$或$q^{k^2}$的等比数列（相邻$k$项的和都不为0）。

⑦ 在数列$\{a_n\}$中，每隔$k(k∈\mathbf{N}^*)$项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为$q^{k+1}$。

（4）等比数列的前$n$项和公式

若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和公式为$S_n=\begin{cases}na_1,\quad\quad\quad\quad\quad\ q=1\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q},q≠1。\end{cases}$

注：当$q≠1$时，若已知$a_1$，$q$，$n$，则用$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$较方便；若已知$a_1$，$q$，$a_n$，则用$S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q}$较方便。

等比数列前$n$项和公式可看作函数关系$S_n=kq^n-k$（$k$，$q$是不为0的常数，且$q$不为1，$n∈\mathbf{N}^*$，它是关于$n$的指数类型的函数。

等比数列前$n$项和公式分$q=1$和$q≠1$两种情况，因此用公式求和时，若公比$q$不确定，则要对公比进行分类讨论。

（5）等比数列前$n$项和的性质

① 若$\{a_n\}$为等比数列，$S_n$为其前$n$项和，当$q≠-1$时，$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$，$\cdots$，仍构成等比数列，即有$(S_{2n}-S_n)^2=$$S_n·(S_{3n}-S_{2n})$，公比为$q^n$；当$q=-1$且$k$为奇数时$S_k$，$S_{2k}-S_k$，$S_{3k}-S_{2k}$，$\cdots$，可构成等比数列。

② 在等比数列中，若项数为$2n(n∈\mathbf{N}^*)$，$S_偶$与$S_奇$分别为偶数项与奇数项的和，则$\frac{S_偶}{S_奇}=q$；若项数为$2n+1$，则$\frac{S_奇-a_1}{S_偶}=q$。

③ 若$\{a_n\}$是公比为$q$的等比数列，则$S_{n+m}=S_n+q^n·S_m$。

④ 在等比数列$\{a_n\}$中，当$q=1$时，$\frac{S_n}{S_m}=\frac{n}{m}$；当$q≠1$时，$\frac{S_n}{S_m}=\frac{1-q^n}{1-q^m}$。

二、数列的相关例题

记$S_n$为等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和。已知$S_4=0$，$a_5=5$，则____

A．$a_n=2n-5$

B．$a_n=3n-10$

C．$S_n=2n^2-8n$

D．$S_n=\frac{1}{2}n^2-2n$

答案：A

解析：由已知可得$\begin{cases}S_4=4a_1+\frac{d}{2}×4×3=0,\\a_5=a_1+4d=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=-3,\\d=2。\end{cases}$$∴a_n=2n-5$，故选A。

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