不等式的基本性质和其他性质

一、不等式的基本性质和其他性质

1、不等式的基本性质

（1）对称性：$a>b\Leftrightarrow b<a$，$a<b\Leftrightarrow b>a$。

（2）传递性：$a>b$，$b>c\Rightarrow a>c$；$c<b$，$b<a\Rightarrow c<a$。

（3）可加性：$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$。

推论：（移项法则）$a+b>c\Leftrightarrow a>c-b$。

（4）同向可加性：$a>b$，$c>d\Rightarrow a+c>b+d$。

（5）可乘性：$a>b$，$c>0\Rightarrow ac>bc$。

（6）同向同正可乘性：$a>b>0$，$c>d>0\Rightarrow ac>bd$。

（7）可乘方性：$a>b>0\Rightarrow a^n>b^n(n∈\mathbf{N}$，$n≥1)$。

（8）可开方性：$a>b>0\Rightarrow \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$。

2、不等式的其他性质

（1）倒数性质

① $a>b$，$ab>0\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$；

② $a<0<b\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$；

③ $a>b>0$，$0<c<d\Leftrightarrow \frac{a}{c}>\frac{b}{d}$。

（1）分数性质

若$a>b>0$，,$m>0$，则

① 真分数性质：$\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m}$；$\frac{b}{a}>\frac{b-m}{a-m}(b-m>0)$。

② 假分数性质：$\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}$；$\frac{a}{b}<\frac{a-m}{b-m}(b-m>0)$。

二、不等式的性质的相关例题

有四个不等式:① $|a|>|b|$；② $a<b$；③ $a +b<ab$；④ $a^3>b^3$，若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$，则不正确的不等式的个数是A．0 B．1 C．2 D．3

答案：C

解析：由$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$，得$b<a<0$，从而$|a|<|b|$，① 不正确；$a>b$，② 不正确；$a +b<0$，$ab>0$，则$a+b<ab$成立，③ 正确；$a^3>b^3$，④正确。故不正确的不等式的个数为2，故选C。

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