补集的定义和性质

一、补集的定义和性质

1、定义

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作$U$。

补集：对于一个集合$A$，由全集$U$中不属于集合$A$的所有元素组成的集合称为集合$A$相对于全集$U$的补集，简称为集合$A$的补集，记作$\complement _UA$，即$\complement _UA={x|x∈U$，且$x\notin A}$。

2、补集的性质

$A∪\complement _UA=U$（一个集合与其补集的并集是全集）

$A∪\complement _UA=\varnothing$（一个集合与其补集的交集是空集）

$\complement _U\left( \complement _UA\right)=A$（一个集合的补集的补集是其本身）

$\complement _UU=\varnothing$（全集的补集是空集）

$\complement _U\varnothing=U$（空集的补集是全集）

$A\subseteq B\Leftrightarrow\left( \complement _UA\right)\supseteq\left( \complement _UB\right)$（在同一全集中，任何集合的补集是其自己的补集的子集）

若$A=B$，则$\complement _UA=\complement _UB$（在同一全集中，相等集合的补集也相等）

二、补集的相关例题

已知集合$U={1，2，3，4}$，集合$A={1，2}$，$B={2，3}$，则$\complement _U（A∪B）$=

A．${1，3，4}$

Ｂ．${3，4}$

Ｃ．${3}$

Ｄ．${4}$

答案：D

解析： 由题得$A∪B={1，2，3}$，$∴\complement _U（A∪B）={4}$，故选D。

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